WEBVTT 00:00:00.450 --> 00:00:05.500 Observa el perfil azul. Al cambiar una sola frontera, el perfil se curva y 00:00:05.500 --> 00:00:11.075 aumenta su autovalor más bajo. ¿Por qué? Vamos a construir la explicación 00:00:11.075 --> 00:00:14.630 y después comprobaremos el mismo efecto en el laboratorio. 00:00:15.992 --> 00:00:20.737 La coordenada horizontal indica la posición a lo largo de una dimensión extra. 00:00:20.737 --> 00:00:26.102 La vertical representa la amplitud del campo, no la trayectoria de una partícula. 00:00:26.102 --> 00:00:31.472 Si exigimos pendiente nula en ambos extremos, se permite un perfil constante. 00:00:31.472 --> 00:00:35.112 Su curvatura y el autovalor del problema normal son cero. 00:00:36.492 --> 00:00:39.572 Activamos ahora el acoplamiento de frontera, llamado a. 00:00:39.572 --> 00:00:44.297 En el extremo derecho, la pendiente más a por la amplitud debe ser cero. 00:00:44.297 --> 00:00:49.467 Nuestra constante no nula tiene pendiente cero, pero amplitud distinta de cero. 00:00:49.467 --> 00:00:52.422 Observa cómo el residuo se vuelve rojo. 00:00:52.422 --> 00:00:55.972 Este perfil ya no satisface la condición de contorno. 00:00:57.325 --> 00:01:00.655 Mantenemos pendiente cero en el extremo izquierdo. 00:01:00.655 --> 00:01:04.975 La ecuación en el interior proporciona entonces un perfil cosenoidal. 00:01:04.975 --> 00:01:09.685 Cambia su frecuencia, equis, y observa el extremo derecho. 00:01:09.685 --> 00:01:13.205 La mayoría de las frecuencias no cumplen la condición. 00:01:13.205 --> 00:01:17.495 Solo se admite aquella que equilibra la pendiente con el término de frontera. 00:01:18.867 --> 00:01:23.837 Para un coseno, la pendiente en el extremo es menos equis por seno de equis. 00:01:23.837 --> 00:01:27.092 El término de frontera es a por coseno de equis. 00:01:27.092 --> 00:01:31.252 Con acoplamiento uno, ambas contribuciones se cancelan. 00:01:31.252 --> 00:01:34.857 Al reorganizar, obtenemos equis por tangente de equis igual a a. 00:01:34.857 --> 00:01:38.677 Esta ecuación procede directamente del equilibrio en el extremo. 00:01:40.033 --> 00:01:46.263 Aumentamos el acoplamiento. El perfil permitido se curva más y la primera raíz crece. 00:01:46.263 --> 00:01:49.393 La gráfica pequeña sigue ese mismo cálculo. 00:01:49.393 --> 00:01:54.128 Si la longitud del intervalo es pi por erre, la masa normal adimensional es equis dividido 00:01:54.128 --> 00:01:58.793 por pi. Se aproxima a un medio cuando el acoplamiento aumenta. 00:02:00.158 --> 00:02:02.643 Ahora vemos el laboratorio real. 00:02:02.643 --> 00:02:06.123 Cambiamos la intensidad de frontera de cero a cuatro. 00:02:06.123 --> 00:02:10.163 Observa cómo la rama emparejada se eleva sobre la no emparejada. 00:02:10.163 --> 00:02:14.768 Con ángulo de Wilson cero, la ordenada es precisamente la brecha normal que acabamos de 00:02:14.768 --> 00:02:20.268 deducir. El control resaltado y el resultado de la gráfica cambian juntos. 00:02:21.658 --> 00:02:24.308 La condición de frontera ha cambiado. 00:02:24.308 --> 00:02:27.373 El perfil constante deja de ser admisible. 00:02:27.373 --> 00:02:31.323 El modo permitido más bajo tiene ahora un autovalor positivo. 00:02:31.323 --> 00:02:36.713 Ese es el mecanismo de esta brecha, dentro del problema de intervalo que hemos definido. 00:02:36.713 --> 00:02:41.958 El laboratorio calcula el efecto; el argumento de frontera explica por qué ocurre. 00:02:43.325 --> 00:02:46.735 Hemos visto cómo una frontera selecciona un perfil. 00:02:46.735 --> 00:02:51.945 Ahora hacemos otra pregunta: ¿cuántos perfiles son independientes? Empecemos 00:02:51.945 --> 00:02:55.250 con tres funciones sencillas de dos componentes. 00:02:55.250 --> 00:02:59.840 La primera ocupa la componente superior, la segunda la inferior y la tercera cambia con 00:02:59.840 --> 00:03:04.140 la posición. Observa cómo se dibujan sus curvas. 00:03:05.492 --> 00:03:08.707 Restamos la mitad del primer perfil al tercero. 00:03:08.707 --> 00:03:12.422 Sus componentes superiores se cancelan en el punto medio. 00:03:12.422 --> 00:03:17.002 Pero, al alejarnos de ese punto, reaparece el residuo. 00:03:17.002 --> 00:03:22.337 Para que haya dependencia, un mismo conjunto de coeficientes debe anular toda la función, 00:03:22.337 --> 00:03:26.592 en cada posición. Cancelar en un punto no basta. 00:03:27.950 --> 00:03:32.555 La matriz de Gram recoge el producto interno de cada par de perfiles, integrado sobre 00:03:32.555 --> 00:03:36.895 el intervalo. Observa cómo aparecen sus entradas. 00:03:36.895 --> 00:03:41.395 El primer perfil y el tercero se solapan: su entrada es un medio. 00:03:41.395 --> 00:03:46.750 Eso no los hace dependientes. El determinante vale un doceavo, así que la matriz 00:03:46.750 --> 00:03:50.285 es invertible y las tres funciones son independientes. 00:03:51.658 --> 00:03:54.718 Usamos los mismos coeficientes de antes. 00:03:54.718 --> 00:03:57.548 El perfil combinado es u menos un medio. 00:03:57.548 --> 00:04:03.708 Elevamos al cuadrado su amplitud e integramos: el área sombreada es un doceavo, y no cero. 00:04:03.708 --> 00:04:07.123 Eso es exactamente ce adjunto por ge por ce. 00:04:07.123 --> 00:04:11.513 En general, equivale a la norma al cuadrado del perfil combinado. 00:04:11.513 --> 00:04:17.633 Por tanto, una dirección del núcleo de ge corresponde precisamente a una relación de dependencia. 00:04:18.992 --> 00:04:22.847 Volvamos a los tres perfiles exponenciales del laboratorio. 00:04:22.847 --> 00:04:27.372 Cada uno tiene dos componentes complejas y depende de dos coordenadas. 00:04:27.372 --> 00:04:31.772 La superficie representa la primera componente del perfil intermedio. 00:04:31.772 --> 00:04:34.562 Con parámetro de masa cero es plana. 00:04:34.562 --> 00:04:38.622 Al aumentar eme, adquiere pendiente en la dirección zeta. 00:04:38.622 --> 00:04:41.547 Esa nueva dependencia espacial es la clave. 00:04:42.908 --> 00:04:47.508 Supongamos que una combinación lineal fija de estos tres perfiles se anula. 00:04:47.508 --> 00:04:52.838 Derivamos respecto de zeta. Solo cambia el perfil intermedio, de modo que, 00:04:52.838 --> 00:04:56.663 si eme no es cero, su coeficiente be debe anularse. 00:04:56.663 --> 00:05:01.718 Las dos direcciones espinoriales restantes obligan entonces a que a y ce sean cero. 00:05:01.718 --> 00:05:06.628 Cuando eme es cero, ese argumento con la derivada desaparece y los tres perfiles constantes 00:05:06.628 --> 00:05:08.913 generan solo dos direcciones. 00:05:10.283 --> 00:05:14.113 Cambiamos la masa del perfil de cero a uno en el laboratorio. 00:05:14.113 --> 00:05:18.058 En cero, un autovalor de Gram es numéricamente nulo. 00:05:18.058 --> 00:05:20.998 En uno, los tres son positivos. 00:05:20.998 --> 00:05:25.978 Su tamaño depende de la normalización y el rango numérico utiliza una tolerancia. 00:05:25.978 --> 00:05:30.673 El certificado independiente con intervalos racionales también demuestra positividad definida 00:05:30.673 --> 00:05:35.933 en eme igual a uno, con el menor autovalor superior a cero coma uno uno cero cinco. 00:05:37.283 --> 00:05:40.353 Esta conclusión tiene un límite importante. 00:05:40.353 --> 00:05:45.398 Tasas exponenciales distintas pueden producir cuatro funciones independientes, o cualquier 00:05:45.398 --> 00:05:50.403 número finito. Sobre una recta adecuada, la independencia se deduce de un 00:05:50.403 --> 00:05:56.163 determinante de Vandermonde. Para las cuatro tasas mostradas vale setenta y dos. 00:05:56.163 --> 00:06:01.168 Contar familias físicas requiere el dominio real del operador y sus condiciones de contorno, 00:06:01.168 --> 00:06:03.618 además de los perfiles elegidos. 00:06:04.992 --> 00:06:09.692 Ahora la teoría de representaciones se convierte en una suma finita exacta. 00:06:09.692 --> 00:06:14.447 En la representación semiespinorial positiva de Spin veinte, cada peso es una lista de 00:06:14.447 --> 00:06:19.942 diez signos dividida por dos. El producto de los signos debe ser positivo. 00:06:19.942 --> 00:06:23.457 Elegimos nueve libremente y el décimo queda fijado. 00:06:23.457 --> 00:06:28.742 Observa cómo se llena la cuadrícula: dos elevado a nueve da quinientos doce pesos. 00:06:30.117 --> 00:06:35.277 Cada peso aporta un número, cu, obtenido mediante su producto escalar con el vector 00:06:35.277 --> 00:06:40.682 de prueba de Cartan. En este ejemplo, la inserción es el producto de los dos primeros 00:06:40.682 --> 00:06:45.642 signos. Sumamos la inserción multiplicada por cu al cuadrado. 00:06:45.642 --> 00:06:50.907 Fijamos las dos primeras coordenadas del vector en uno y dos, y las demás en cero. 00:06:50.907 --> 00:06:54.367 Cuatro grupos del mismo tamaño suman quinientos doce. 00:06:55.742 --> 00:07:00.412 Expandimos el producto escalar al cuadrado antes de elegir un vector de prueba. 00:07:00.412 --> 00:07:04.357 Hay cincuenta y cinco monomios cuadráticos en diez variables. 00:07:04.357 --> 00:07:08.897 El verificador suma cada coeficiente con aritmética racional exacta. 00:07:08.897 --> 00:07:13.897 Observa las cancelaciones: solo sobrevive el término cruzado hache uno por hache dos, 00:07:13.897 --> 00:07:17.042 con coeficiente doscientos cincuenta y seis. 00:07:17.042 --> 00:07:20.117 Hemos comprobado todo el polinomio cuadrático. 00:07:21.492 --> 00:07:24.992 Movemos ahora el vector de prueba sobre ese polinomio. 00:07:24.992 --> 00:07:28.522 En cualquiera de los ejes, el valor es cero. 00:07:28.522 --> 00:07:32.737 Al llegar al punto uno, dos, vale quinientos doce. 00:07:32.737 --> 00:07:38.407 El mapa de calor permite ver la diferencia: una evaluación nula no demuestra una identidad. 00:07:38.407 --> 00:07:43.342 En cambio, un valor no nulo refuta que el polinomio sea idénticamente cero. 00:07:44.700 --> 00:07:48.985 El laboratorio mantiene fijo el vector de Cartan de diez componentes mientras cambiamos 00:07:48.985 --> 00:07:53.420 la inserción. Observa la tabla de trazas exactas. 00:07:53.420 --> 00:07:58.445 Para la primera inserción, el momento cuadrático vale quinientos doce, de acuerdo con 00:07:58.445 --> 00:08:03.560 nuestra identidad. Otras inserciones producen momentos distintos. 00:08:03.560 --> 00:08:08.690 Son trazas de la representación sin factores físicos adicionales, previas a la normalización 00:08:08.690 --> 00:08:13.080 y al flujo de anomalías necesarios para obtener coeficientes físicos. 00:08:14.450 --> 00:08:18.775 La suma finita de pesos responde a una pregunta algebraica precisa. 00:08:18.775 --> 00:08:23.440 Para convertirla en un cálculo de anomalías hacen falta los proyectores adecuados, la 00:08:23.440 --> 00:08:28.540 normalización y el descenso, además de las contribuciones de otros sectores. 00:08:28.540 --> 00:08:32.845 También importan los datos globales de carga y el flujo de anomalías. 00:08:32.845 --> 00:08:36.580 El marcador se detiene en lo que realmente hemos calculado. 00:08:36.580 --> 00:08:40.635 Un certificado de trazas no certifica toda la teoría cuántica. 00:08:41.992 --> 00:08:47.087 El último ejemplo es una condición restringida de consistencia en seis dimensiones. 00:08:47.087 --> 00:08:51.032 Ene cuenta el exceso con signo de dobletes complejos de Weyl. 00:08:51.032 --> 00:08:56.142 En el marco indicado, una teoría autónoma con ese u dos y sector tensorial, ene debe 00:08:56.142 --> 00:09:01.267 ser divisible por seis. Con asignaciones idénticas por familia, los tres 00:09:01.267 --> 00:09:07.147 colores de quarks y un leptón de quiralidad opuesta aportan tres menos uno: dos por familia. 00:09:07.147 --> 00:09:11.022 Cada familia hace avanzar dos unidades el reloj de residuos. 00:09:12.408 --> 00:09:16.393 Tras tres familias de ese tipo, el reloj vuelve a cero. 00:09:16.393 --> 00:09:19.953 Seis y nueve familias también superan esta condición. 00:09:19.953 --> 00:09:24.658 Si la quiralidad del leptón coincide con la de los quarks, cada familia idéntica aporta 00:09:24.658 --> 00:09:28.998 cuatro; de nuevo, los múltiplos de tres vuelven a cero. 00:09:28.998 --> 00:09:35.058 La congruencia restringe las posibilidades, pero no selecciona de forma única tres generaciones. 00:09:36.408 --> 00:09:40.858 Permitamos ahora dos familias con asignaciones distintas de quiralidad. 00:09:40.858 --> 00:09:43.828 La primera aporta dos y la segunda cuatro. 00:09:43.828 --> 00:09:48.998 Juntas suman seis, así que superan esta prueba de residuos con dos familias. 00:09:48.998 --> 00:09:53.463 Es un contraejemplo a eliminar la hipótesis de asignaciones idénticas. 00:09:53.463 --> 00:09:57.963 No constituye un modelo físico completo y consistente de dos familias. 00:09:59.325 --> 00:10:03.295 Si contamos dobletes complejos, el módulo es seis. 00:10:03.295 --> 00:10:08.605 Si contamos en unidades de medio doblete, duplicamos ene y usamos módulo doce. 00:10:08.605 --> 00:10:12.675 Observa ambos relojes: superan la condición a la vez. 00:10:12.675 --> 00:10:16.380 Cambian las unidades, pero no la condición. 00:10:16.380 --> 00:10:21.520 El argumento físico también exige cuantización integral del sector tensorial; factorizar 00:10:21.520 --> 00:10:26.335 el polinomio de anomalías no proporciona por sí solo toda esa información global. 00:10:27.700 --> 00:10:31.930 Cambiamos el número de familias en el laboratorio y mantenemos la quiralidad del leptón 00:10:31.930 --> 00:10:37.010 opuesta a la de los quarks. Una y dos no cumplen esta condición restringida; 00:10:37.010 --> 00:10:42.290 tres sí. Cuatro y cinco no la cumplen; seis vuelve a cumplirla. 00:10:42.290 --> 00:10:45.335 El residuo mostrado explica cada cambio. 00:10:45.335 --> 00:10:49.840 Conservemos las hipótesis de asignaciones idénticas y de teoría autónoma al interpretar 00:10:49.840 --> 00:10:51.465 este resultado. 00:10:52.825 --> 00:10:55.770 Hemos seguido cuatro preguntas distintas. 00:10:55.770 --> 00:10:59.355 Las condiciones de contorno seleccionaron un espectro. 00:10:59.355 --> 00:11:04.050 Los productos internos integrados comprobaron independencia de funciones. 00:11:04.050 --> 00:11:07.145 Las sumas de pesos determinaron un polinomio. 00:11:07.145 --> 00:11:11.255 Una condición de residuos restringió asignaciones idénticas. 00:11:11.255 --> 00:11:15.535 Cada cálculo tiene una razón, unos datos y unos límites. 00:11:15.535 --> 00:11:20.500 Superar estos diagnósticos separados no determina por sí solo un vacío de Higgs, las masas 00:11:20.500 --> 00:11:24.310 de neutrinos ni una construcción completa del Modelo Estándar. 00:11:25.700 --> 00:11:31.140 La página del vídeo enlaza el laboratorio, las demostraciones matemáticas, los certificados 00:11:31.140 --> 00:11:36.265 exactos y su verificador. También incluye los artículos originales que sustentan 00:11:36.265 --> 00:11:42.160 las hipótesis. No se afirma una formalización en un asistente de demostraciones. 00:11:42.160 --> 00:11:47.060 Puedes cambiar las variables, reproducir los cálculos y cuestionar las hipótesis físicas 00:11:47.060 --> 00:11:52.185 que faltan. El propósito es hacer visible, y comprobable, el camino 00:11:52.185 --> 00:11:54.530 entre física y matemáticas.