WEBVTT

00:00:00.450 --> 00:00:05.500
Observa el perfil azul. Al cambiar una sola frontera, el perfil se curva y

00:00:05.500 --> 00:00:11.075
aumenta su autovalor más bajo. ¿Por qué? Vamos a construir la explicación

00:00:11.075 --> 00:00:14.630
y después comprobaremos el mismo efecto en el laboratorio.

00:00:15.992 --> 00:00:20.737
La coordenada horizontal indica la posición a lo largo de una dimensión extra.

00:00:20.737 --> 00:00:26.102
La vertical representa la amplitud del campo, no la trayectoria de una partícula.

00:00:26.102 --> 00:00:31.472
Si exigimos pendiente nula en ambos extremos, se permite un perfil constante.

00:00:31.472 --> 00:00:35.112
Su curvatura y el autovalor del problema normal son cero.

00:00:36.492 --> 00:00:39.572
Activamos ahora el acoplamiento de frontera, llamado a.

00:00:39.572 --> 00:00:44.297
En el extremo derecho, la pendiente más a por la amplitud debe ser cero.

00:00:44.297 --> 00:00:49.467
Nuestra constante no nula tiene pendiente cero, pero amplitud distinta de cero.

00:00:49.467 --> 00:00:52.422
Observa cómo el residuo se vuelve rojo.

00:00:52.422 --> 00:00:55.972
Este perfil ya no satisface la condición de contorno.

00:00:57.325 --> 00:01:00.655
Mantenemos pendiente cero en el extremo izquierdo.

00:01:00.655 --> 00:01:04.975
La ecuación en el interior proporciona entonces un perfil cosenoidal.

00:01:04.975 --> 00:01:09.685
Cambia su frecuencia, equis, y observa el extremo derecho.

00:01:09.685 --> 00:01:13.205
La mayoría de las frecuencias no cumplen la condición.

00:01:13.205 --> 00:01:17.495
Solo se admite aquella que equilibra la pendiente con el término de frontera.

00:01:18.867 --> 00:01:23.837
Para un coseno, la pendiente en el extremo es menos equis por seno de equis.

00:01:23.837 --> 00:01:27.092
El término de frontera es a por coseno de equis.

00:01:27.092 --> 00:01:31.252
Con acoplamiento uno, ambas contribuciones se cancelan.

00:01:31.252 --> 00:01:34.857
Al reorganizar, obtenemos equis por tangente de equis igual a a.

00:01:34.857 --> 00:01:38.677
Esta ecuación procede directamente del equilibrio en el extremo.

00:01:40.033 --> 00:01:46.263
Aumentamos el acoplamiento. El perfil permitido se curva más y la primera raíz crece.

00:01:46.263 --> 00:01:49.393
La gráfica pequeña sigue ese mismo cálculo.

00:01:49.393 --> 00:01:54.128
Si la longitud del intervalo es pi por erre, la masa normal adimensional es equis dividido

00:01:54.128 --> 00:01:58.793
por pi. Se aproxima a un medio cuando el acoplamiento aumenta.

00:02:00.158 --> 00:02:02.643
Ahora vemos el laboratorio real.

00:02:02.643 --> 00:02:06.123
Cambiamos la intensidad de frontera de cero a cuatro.

00:02:06.123 --> 00:02:10.163
Observa cómo la rama emparejada se eleva sobre la no emparejada.

00:02:10.163 --> 00:02:14.768
Con ángulo de Wilson cero, la ordenada es precisamente la brecha normal que acabamos de

00:02:14.768 --> 00:02:20.268
deducir. El control resaltado y el resultado de la gráfica cambian juntos.

00:02:21.658 --> 00:02:24.308
La condición de frontera ha cambiado.

00:02:24.308 --> 00:02:27.373
El perfil constante deja de ser admisible.

00:02:27.373 --> 00:02:31.323
El modo permitido más bajo tiene ahora un autovalor positivo.

00:02:31.323 --> 00:02:36.713
Ese es el mecanismo de esta brecha, dentro del problema de intervalo que hemos definido.

00:02:36.713 --> 00:02:41.958
El laboratorio calcula el efecto; el argumento de frontera explica por qué ocurre.

00:02:43.325 --> 00:02:46.735
Hemos visto cómo una frontera selecciona un perfil.

00:02:46.735 --> 00:02:51.945
Ahora hacemos otra pregunta: ¿cuántos perfiles son independientes? Empecemos

00:02:51.945 --> 00:02:55.250
con tres funciones sencillas de dos componentes.

00:02:55.250 --> 00:02:59.840
La primera ocupa la componente superior, la segunda la inferior y la tercera cambia con

00:02:59.840 --> 00:03:04.140
la posición. Observa cómo se dibujan sus curvas.

00:03:05.492 --> 00:03:08.707
Restamos la mitad del primer perfil al tercero.

00:03:08.707 --> 00:03:12.422
Sus componentes superiores se cancelan en el punto medio.

00:03:12.422 --> 00:03:17.002
Pero, al alejarnos de ese punto, reaparece el residuo.

00:03:17.002 --> 00:03:22.337
Para que haya dependencia, un mismo conjunto de coeficientes debe anular toda la función,

00:03:22.337 --> 00:03:26.592
en cada posición. Cancelar en un punto no basta.

00:03:27.950 --> 00:03:32.555
La matriz de Gram recoge el producto interno de cada par de perfiles, integrado sobre

00:03:32.555 --> 00:03:36.895
el intervalo. Observa cómo aparecen sus entradas.

00:03:36.895 --> 00:03:41.395
El primer perfil y el tercero se solapan: su entrada es un medio.

00:03:41.395 --> 00:03:46.750
Eso no los hace dependientes. El determinante vale un doceavo, así que la matriz

00:03:46.750 --> 00:03:50.285
es invertible y las tres funciones son independientes.

00:03:51.658 --> 00:03:54.718
Usamos los mismos coeficientes de antes.

00:03:54.718 --> 00:03:57.548
El perfil combinado es u menos un medio.

00:03:57.548 --> 00:04:03.708
Elevamos al cuadrado su amplitud e integramos: el área sombreada es un doceavo, y no cero.

00:04:03.708 --> 00:04:07.123
Eso es exactamente ce adjunto por ge por ce.

00:04:07.123 --> 00:04:11.513
En general, equivale a la norma al cuadrado del perfil combinado.

00:04:11.513 --> 00:04:17.633
Por tanto, una dirección del núcleo de ge corresponde precisamente a una relación de dependencia.

00:04:18.992 --> 00:04:22.847
Volvamos a los tres perfiles exponenciales del laboratorio.

00:04:22.847 --> 00:04:27.372
Cada uno tiene dos componentes complejas y depende de dos coordenadas.

00:04:27.372 --> 00:04:31.772
La superficie representa la primera componente del perfil intermedio.

00:04:31.772 --> 00:04:34.562
Con parámetro de masa cero es plana.

00:04:34.562 --> 00:04:38.622
Al aumentar eme, adquiere pendiente en la dirección zeta.

00:04:38.622 --> 00:04:41.547
Esa nueva dependencia espacial es la clave.

00:04:42.908 --> 00:04:47.508
Supongamos que una combinación lineal fija de estos tres perfiles se anula.

00:04:47.508 --> 00:04:52.838
Derivamos respecto de zeta. Solo cambia el perfil intermedio, de modo que,

00:04:52.838 --> 00:04:56.663
si eme no es cero, su coeficiente be debe anularse.

00:04:56.663 --> 00:05:01.718
Las dos direcciones espinoriales restantes obligan entonces a que a y ce sean cero.

00:05:01.718 --> 00:05:06.628
Cuando eme es cero, ese argumento con la derivada desaparece y los tres perfiles constantes

00:05:06.628 --> 00:05:08.913
generan solo dos direcciones.

00:05:10.283 --> 00:05:14.113
Cambiamos la masa del perfil de cero a uno en el laboratorio.

00:05:14.113 --> 00:05:18.058
En cero, un autovalor de Gram es numéricamente nulo.

00:05:18.058 --> 00:05:20.998
En uno, los tres son positivos.

00:05:20.998 --> 00:05:25.978
Su tamaño depende de la normalización y el rango numérico utiliza una tolerancia.

00:05:25.978 --> 00:05:30.673
El certificado independiente con intervalos racionales también demuestra positividad definida

00:05:30.673 --> 00:05:35.933
en eme igual a uno, con el menor autovalor superior a cero coma uno uno cero cinco.

00:05:37.283 --> 00:05:40.353
Esta conclusión tiene un límite importante.

00:05:40.353 --> 00:05:45.398
Tasas exponenciales distintas pueden producir cuatro funciones independientes, o cualquier

00:05:45.398 --> 00:05:50.403
número finito. Sobre una recta adecuada, la independencia se deduce de un

00:05:50.403 --> 00:05:56.163
determinante de Vandermonde. Para las cuatro tasas mostradas vale setenta y dos.

00:05:56.163 --> 00:06:01.168
Contar familias físicas requiere el dominio real del operador y sus condiciones de contorno,

00:06:01.168 --> 00:06:03.618
además de los perfiles elegidos.

00:06:04.992 --> 00:06:09.692
Ahora la teoría de representaciones se convierte en una suma finita exacta.

00:06:09.692 --> 00:06:14.447
En la representación semiespinorial positiva de Spin veinte, cada peso es una lista de

00:06:14.447 --> 00:06:19.942
diez signos dividida por dos. El producto de los signos debe ser positivo.

00:06:19.942 --> 00:06:23.457
Elegimos nueve libremente y el décimo queda fijado.

00:06:23.457 --> 00:06:28.742
Observa cómo se llena la cuadrícula: dos elevado a nueve da quinientos doce pesos.

00:06:30.117 --> 00:06:35.277
Cada peso aporta un número, cu, obtenido mediante su producto escalar con el vector

00:06:35.277 --> 00:06:40.682
de prueba de Cartan. En este ejemplo, la inserción es el producto de los dos primeros

00:06:40.682 --> 00:06:45.642
signos. Sumamos la inserción multiplicada por cu al cuadrado.

00:06:45.642 --> 00:06:50.907
Fijamos las dos primeras coordenadas del vector en uno y dos, y las demás en cero.

00:06:50.907 --> 00:06:54.367
Cuatro grupos del mismo tamaño suman quinientos doce.

00:06:55.742 --> 00:07:00.412
Expandimos el producto escalar al cuadrado antes de elegir un vector de prueba.

00:07:00.412 --> 00:07:04.357
Hay cincuenta y cinco monomios cuadráticos en diez variables.

00:07:04.357 --> 00:07:08.897
El verificador suma cada coeficiente con aritmética racional exacta.

00:07:08.897 --> 00:07:13.897
Observa las cancelaciones: solo sobrevive el término cruzado hache uno por hache dos,

00:07:13.897 --> 00:07:17.042
con coeficiente doscientos cincuenta y seis.

00:07:17.042 --> 00:07:20.117
Hemos comprobado todo el polinomio cuadrático.

00:07:21.492 --> 00:07:24.992
Movemos ahora el vector de prueba sobre ese polinomio.

00:07:24.992 --> 00:07:28.522
En cualquiera de los ejes, el valor es cero.

00:07:28.522 --> 00:07:32.737
Al llegar al punto uno, dos, vale quinientos doce.

00:07:32.737 --> 00:07:38.407
El mapa de calor permite ver la diferencia: una evaluación nula no demuestra una identidad.

00:07:38.407 --> 00:07:43.342
En cambio, un valor no nulo refuta que el polinomio sea idénticamente cero.

00:07:44.700 --> 00:07:48.985
El laboratorio mantiene fijo el vector de Cartan de diez componentes mientras cambiamos

00:07:48.985 --> 00:07:53.420
la inserción. Observa la tabla de trazas exactas.

00:07:53.420 --> 00:07:58.445
Para la primera inserción, el momento cuadrático vale quinientos doce, de acuerdo con

00:07:58.445 --> 00:08:03.560
nuestra identidad. Otras inserciones producen momentos distintos.

00:08:03.560 --> 00:08:08.690
Son trazas de la representación sin factores físicos adicionales, previas a la normalización

00:08:08.690 --> 00:08:13.080
y al flujo de anomalías necesarios para obtener coeficientes físicos.

00:08:14.450 --> 00:08:18.775
La suma finita de pesos responde a una pregunta algebraica precisa.

00:08:18.775 --> 00:08:23.440
Para convertirla en un cálculo de anomalías hacen falta los proyectores adecuados, la

00:08:23.440 --> 00:08:28.540
normalización y el descenso, además de las contribuciones de otros sectores.

00:08:28.540 --> 00:08:32.845
También importan los datos globales de carga y el flujo de anomalías.

00:08:32.845 --> 00:08:36.580
El marcador se detiene en lo que realmente hemos calculado.

00:08:36.580 --> 00:08:40.635
Un certificado de trazas no certifica toda la teoría cuántica.

00:08:41.992 --> 00:08:47.087
El último ejemplo es una condición restringida de consistencia en seis dimensiones.

00:08:47.087 --> 00:08:51.032
Ene cuenta el exceso con signo de dobletes complejos de Weyl.

00:08:51.032 --> 00:08:56.142
En el marco indicado, una teoría autónoma con ese u dos y sector tensorial, ene debe

00:08:56.142 --> 00:09:01.267
ser divisible por seis. Con asignaciones idénticas por familia, los tres

00:09:01.267 --> 00:09:07.147
colores de quarks y un leptón de quiralidad opuesta aportan tres menos uno: dos por familia.

00:09:07.147 --> 00:09:11.022
Cada familia hace avanzar dos unidades el reloj de residuos.

00:09:12.408 --> 00:09:16.393
Tras tres familias de ese tipo, el reloj vuelve a cero.

00:09:16.393 --> 00:09:19.953
Seis y nueve familias también superan esta condición.

00:09:19.953 --> 00:09:24.658
Si la quiralidad del leptón coincide con la de los quarks, cada familia idéntica aporta

00:09:24.658 --> 00:09:28.998
cuatro; de nuevo, los múltiplos de tres vuelven a cero.

00:09:28.998 --> 00:09:35.058
La congruencia restringe las posibilidades, pero no selecciona de forma única tres generaciones.

00:09:36.408 --> 00:09:40.858
Permitamos ahora dos familias con asignaciones distintas de quiralidad.

00:09:40.858 --> 00:09:43.828
La primera aporta dos y la segunda cuatro.

00:09:43.828 --> 00:09:48.998
Juntas suman seis, así que superan esta prueba de residuos con dos familias.

00:09:48.998 --> 00:09:53.463
Es un contraejemplo a eliminar la hipótesis de asignaciones idénticas.

00:09:53.463 --> 00:09:57.963
No constituye un modelo físico completo y consistente de dos familias.

00:09:59.325 --> 00:10:03.295
Si contamos dobletes complejos, el módulo es seis.

00:10:03.295 --> 00:10:08.605
Si contamos en unidades de medio doblete, duplicamos ene y usamos módulo doce.

00:10:08.605 --> 00:10:12.675
Observa ambos relojes: superan la condición a la vez.

00:10:12.675 --> 00:10:16.380
Cambian las unidades, pero no la condición.

00:10:16.380 --> 00:10:21.520
El argumento físico también exige cuantización integral del sector tensorial; factorizar

00:10:21.520 --> 00:10:26.335
el polinomio de anomalías no proporciona por sí solo toda esa información global.

00:10:27.700 --> 00:10:31.930
Cambiamos el número de familias en el laboratorio y mantenemos la quiralidad del leptón

00:10:31.930 --> 00:10:37.010
opuesta a la de los quarks. Una y dos no cumplen esta condición restringida;

00:10:37.010 --> 00:10:42.290
tres sí. Cuatro y cinco no la cumplen; seis vuelve a cumplirla.

00:10:42.290 --> 00:10:45.335
El residuo mostrado explica cada cambio.

00:10:45.335 --> 00:10:49.840
Conservemos las hipótesis de asignaciones idénticas y de teoría autónoma al interpretar

00:10:49.840 --> 00:10:51.465
este resultado.

00:10:52.825 --> 00:10:55.770
Hemos seguido cuatro preguntas distintas.

00:10:55.770 --> 00:10:59.355
Las condiciones de contorno seleccionaron un espectro.

00:10:59.355 --> 00:11:04.050
Los productos internos integrados comprobaron independencia de funciones.

00:11:04.050 --> 00:11:07.145
Las sumas de pesos determinaron un polinomio.

00:11:07.145 --> 00:11:11.255
Una condición de residuos restringió asignaciones idénticas.

00:11:11.255 --> 00:11:15.535
Cada cálculo tiene una razón, unos datos y unos límites.

00:11:15.535 --> 00:11:20.500
Superar estos diagnósticos separados no determina por sí solo un vacío de Higgs, las masas

00:11:20.500 --> 00:11:24.310
de neutrinos ni una construcción completa del Modelo Estándar.

00:11:25.700 --> 00:11:31.270
Los primeros cuatro ejemplos tienen demostraciones ordinarias y comprobaciones ejecutables.

00:11:31.270 --> 00:11:36.215
El nuevo módulo de cuantización añade otra evidencia: veintitrés declaraciones de teoremas

00:11:36.215 --> 00:11:40.275
Lean, junto a las veintiséis anteriores de S U siete.

00:11:40.275 --> 00:11:44.720
Los siguientes capítulos explican cómo se conectan estos certificados con las hipótesis

00:11:44.720 --> 00:11:49.205
físicas. Una demostración verifica una implicación.

00:11:49.205 --> 00:11:53.865
Aplicarla a la naturaleza requiere además la correspondencia física adecuada.

00:11:55.242 --> 00:12:00.737
Un objeto matemático adquiere significado físico mediante una identificación concreta.

00:12:00.737 --> 00:12:05.247
En el ejemplo del intervalo, un autovalor se convierte en una masa normal al cuadrado

00:12:05.247 --> 00:12:08.687
al fijar la longitud y la normalización cinética.

00:12:08.687 --> 00:12:13.717
Una matriz de Gram describe solapamientos; las familias físicas requieren además el dominio

00:12:13.717 --> 00:12:18.562
real de los campos. La cuantización sigue el mismo principio.

00:12:18.562 --> 00:12:23.127
Debemos fijar el grupo gauge, los fibrados permitidos y la acción antes de interpretar

00:12:23.127 --> 00:12:26.592
un certificado aritmético como restricción física.

00:12:27.950 --> 00:12:30.455
Esta es una conexión concreta.

00:12:30.455 --> 00:12:35.075
En este ejemplo normalizado del axión, la acción topológica es theta por el período de

00:12:35.075 --> 00:12:39.255
Q. Desplazar theta en dos pi multiplica la fase cuántica por la exponencial de dos pi

00:12:39.255 --> 00:12:43.975
i por ese período. Un período entero recupera la misma fase.

00:12:43.975 --> 00:12:46.535
Un semientero da un signo menos.

00:12:46.535 --> 00:12:50.065
El diagrama ilustra esta condición de consistencia.

00:12:50.065 --> 00:12:54.375
No es una medida experimental ni una construcción completa de la acción.

00:12:55.742 --> 00:12:59.547
El álgebra de Lie no fija por sí sola el grupo gauge global.

00:12:59.547 --> 00:13:04.537
Para H igual a S de U dos por U tres, la correspondencia de clases características combina

00:13:04.537 --> 00:13:07.992
tres coeficientes en alfa, beta y delta.

00:13:07.992 --> 00:13:12.602
La integralidad universal exige que esas tres combinaciones sean enteras.

00:13:12.602 --> 00:13:16.062
Fija alfa y beta en uno y gamma en siete doceavos.

00:13:16.062 --> 00:13:18.687
Delta vale cero: la clase total es A más B.

00:13:18.687 --> 00:13:23.552
Lean verifica el criterio aritmético; la interpretación mediante clases características

00:13:23.552 --> 00:13:25.492
se aporta por separado.

00:13:26.867 --> 00:13:30.057
Considera ahora Q igual a C partido por dos.

00:13:30.057 --> 00:13:34.767
Una prueba universal sobre el plano proyectivo detecta un período semientero.

00:13:34.767 --> 00:13:39.592
En una variedad espín cerrada suave de dimensión cuatro, el cuadrado de una clase integral

00:13:39.592 --> 00:13:43.367
de grado dos tiene período par, por la fórmula de Wu.

00:13:43.367 --> 00:13:46.527
Por eso se cumple el criterio espín indicado.

00:13:46.527 --> 00:13:50.817
Son preguntas distintas, no respuestas contradictorias.

00:13:50.817 --> 00:13:54.052
Lean comprueba la aritmética de coeficientes.

00:13:54.052 --> 00:13:59.087
La paridad de Wu y la elección de fondos admisibles del orbifold son pasos separados.

00:14:00.450 --> 00:14:04.725
En el ejemplo U dos hay que sumar las contribuciones de los dos factores.

00:14:04.725 --> 00:14:09.750
Con b cero igual a uno y b uno igual a seis, el cocarácter uno, cero da un cuarto más

00:14:09.750 --> 00:14:12.750
tres cuartos: exactamente uno.

00:14:12.750 --> 00:14:18.260
Para todo m y n enteros, la suma es m al cuadrado más m n más n al cuadrado.

00:14:18.260 --> 00:14:23.915
El certificado demuestra el criterio conjunto, incluidos coeficientes racionales.

00:14:23.915 --> 00:14:28.705
Esto establece una clase característica integral, no un espectro de supergravedad libre

00:14:28.705 --> 00:14:31.390
de anomalías con esos coeficientes.

00:14:32.742 --> 00:14:36.972
Una respuesta parental propuesta debe pertenecer a la imagen del mapa de transferencia

00:14:36.972 --> 00:14:41.977
permitido. El funcional ele anula las dos columnas mostradas, así que toda

00:14:41.977 --> 00:14:45.167
respuesta en esa imagen tiene ele igual a cero.

00:14:45.167 --> 00:14:49.982
Para la respuesta requerida, seis ele vale dieciséis menos tres p menos tres q menos seis

00:14:49.982 --> 00:14:54.117
r. Es uno módulo tres para todos los enteros.

00:14:54.117 --> 00:14:58.397
Esto descarta el emparejamiento dentro de esa familia de respuestas.

00:14:58.397 --> 00:15:04.092
Términos de esquina, otro espectro u otra construcción global exigirían un análisis nuevo.

00:15:05.450 --> 00:15:09.700
El elemento Clifford de grado dieciocho t a tiene cuadrado menos uno.

00:15:09.700 --> 00:15:15.130
Multiplicarlo por menos i produce U a, cuyo cuadrado es más uno en la representación.

00:15:15.130 --> 00:15:20.075
Ambas identidades son correctas, pero responden a preguntas diferentes.

00:15:20.075 --> 00:15:24.970
Una simetría física debe actuar coherentemente sobre todos los campos e interacciones,

00:15:24.970 --> 00:15:27.650
incluido el campo bosónico Omega.

00:15:27.650 --> 00:15:31.025
Puede ser posible una acción torcida o combinada.

00:15:31.025 --> 00:15:35.920
La auditoría exacta no demuestra inconsistencia y no es una formalización Lean.

00:15:37.283 --> 00:15:41.453
El módulo permite utilizar estos enunciados de alcance definido.

00:15:41.453 --> 00:15:44.983
Cada control cambia entradas racionales exactas.

00:15:44.983 --> 00:15:50.123
El criterio y su testigo determinan la retícula y el mapa de cocaracteres mostrados.

00:15:50.123 --> 00:15:54.768
Una figura finita ilustra el resultado; la prueba Lean aporta el enunciado aritmético

00:15:54.768 --> 00:15:59.828
universal. Cuatro archivos Lean contienen cuarenta y nueve declaraciones de teoremas en

00:15:59.828 --> 00:16:05.493
total. La descarga completa incluye los ochenta archivos de datos mantenidos.

00:16:05.493 --> 00:16:11.508
Los hashes, las comprobaciones numéricas y las pruebas formales certifican cosas diferentes.

00:16:12.867 --> 00:16:17.652
Estos valores proceden de las búsquedas publicadas de ATLAS en pares top y de CMS en dijets

00:16:17.652 --> 00:16:22.902
que ya usa el laboratorio. Son límites superiores observados con hipótesis de resonancia

00:16:22.902 --> 00:16:27.507
diferentes, no tasas medidas de producción de nuevas partículas.

00:16:27.507 --> 00:16:32.597
Ninguna de esas búsquedas comunica una señal significativa de nuevas partículas.

00:16:32.597 --> 00:16:37.207
Para contrastar nuestros ejemplos de cuantización sigue faltando conectarlos físicamente

00:16:37.207 --> 00:16:43.577
con masas, acoplamientos, anchuras y tasas predichas, con sus incertidumbres.

00:16:43.577 --> 00:16:47.067
Los datos pueden respaldar esa realización física.

00:16:47.067 --> 00:16:52.962
No sustituyen su demostración matemática, y quedar bajo un límite no es un descubrimiento.